1. 研究目的与意义
Euler-Maclaurin公式在计算定积分中有着极为重要的应用，建立了函数积分与函数导数之间的联系，在数值分析和级数求和中，欧拉马克劳林公式是一个极为有用的工具。
但是其公式的形式也相当复杂，由于该公式涉及了伯努利多项式的内容，本文准备先通过对伯努利多项式的定义性质进行分析进而对该公式进行证明，再总结该公式在实际中的应用。
2. 研究内容和预期目标
见思路
3. 国内外研究现状
1.Euler-Maclaurin求和公式原是一维的积分求和公式，后又被拓展到二维甚至高维的积分近似中。
2.经典的Euler-Maclaurin公式证明方法是使用伯努利多项式的性质和伯努利数证明的，后又有提出用带有积分余项的Taylor展开式将Euler-Maclaurin求和公式的证明转化成一个特殊的上三角线性代数方程组的求解。
3.在经典的Euler-Maclaurin公式基础上将伯努利多项式做傅里叶展开从而找回Euler-Maclaurin公式的部分余项，得到一维修正的Euler-Maclaurin公式。欧拉-麦克劳林求和公式通过扩展周期性伯努利多项式作为其傅里叶级数并进行切割（包括欧拉-麦克劳林求和公式和泊松求和公式作为特殊情况）来推广为修改形式。通过使用修改后的公式，可以获得可能的数值求和方法，并且可以控制其余部分。修改后的公式也从一个维度推广到两个维度。通过误差估计得到1D和2D平方阱中经典粒子的分割函数与量子旋转器的分区函数的近似表达式。
4. 计划与进度安排
见思路
5. 参考文献
1. 特殊函数概论，王竹溪，郭敦仁著，北京: 北京大学出版社，2000.
2. G. E. Andrews, R. Askey, R. Roy, Special functions, Cambridge: Cambridge University Press, 1999.
3. K. Knopp,Theory and Application of Infinite Series, New York: Dover, 1990.
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